【文献】
M Christodoulou and C Rovelli
"How big is a black hole?"
arXiv:1411.2854 [gr-qc] (v2)
（種別：プレプリント）
【概要】
球対称ブラックホール内の3次元体積は，平坦時空での2次元球面内の体積の特徴付けを拡張することで定義できる．崩壊する物質に関して，体積は崩壊からの時間と共に増加し，簡単な漸近形をもち，説得力のある解釈を許す．驚くべきことにその体積は大きい．この結果は情報喪失問題と関係があるかも知れない．
【内容】
相対論では「ある2次元閉曲面で囲まれた3次元領域の体積」という量は一意的でない．時間を考慮した４次元時空で考えた場合，3次元空間の境界を決めても，どのような時刻一定面の上（タイムスライス）で体積を計算するかによって結果が異なるからである．
我々は半径$r$の球面内の体積が$V=\frac{4\pi}{3}r^3$であると思っているが，実は時間も考慮した場合，この体積$V$は半径$r$の球面内の体積の《最大値》であることが簡単な議論で理解できる．
この論文では，重力崩壊によって球対称ブラックホールが形成されたとき，そのブラックホールの内部体積を定義し，それを計算することに成功している．上で述べた「平坦な時空における球の体積$V$は与えられた球面の内部体積の最大値（極大値）である」ということを曲がった時空へ一般化することで，事象の地平線上の2次元球面を固定したとき，その内部にある3次元体積を一意的に決定している．
内部体積を定義する時刻一定面を探す問題は，有効的（effective）な2次元空間における測地線を求める問題に帰着される．
結論としては，重力崩壊が始まってから経過した先進時間を$v$とすると，質量$m$のブラックホールの内部体積は$v \gg m$（$c=G=1$という幾何学単位系）という極限で，$V \simeq 3\sqrt{3} \pi m^2 v$という体積をもっているということである．
重力崩壊でブラックホールが形成される様子を示すPenroseダイアグラム．一点が球面を表す．先進時刻$v=0$に光速で中心に物質殻が落ちていき，中心（$r=0$）に到達したと同時に特異点が形成されブラックホールができる．ブラックホールの地平線上に2次元球面$S_v$をとったとき，その内部の体積を極大化する空間的超曲面を$\Sigma_v$としている．
もしこれを銀河系中心にある超巨大ブラックホール（半径$r \sim 10^{6} \; {\rm km}$，年齢$v \sim 10^{9}$年）に適用すると，ブラックホールの内部体積は$V \sim 10^{34} \; {\rm km^3}$となり，これは太陽系100万個分の体積に相当するということである．
詳しい解析をすると，ブラックホールの内部体積の殆どは，時間と共に緩やかに半径が変化する3次元シリンダーからの寄与であることがわかる．
$\Sigma_v$は時間と共に半径が緩やかに増大するシリンダーとして捉えることができる（ホライズンの中なので$r=$一定面が空間的になっていることに注意）．その殆どの領域は半径が一定（$3m/2$）である．
【疑問】
- 一般次元ではどうなるか？Bernstin conjectureとの関係は？
- 体積の第一変分を考えているが，本当に体積の極値を求めているか．つまり，第二変分を考えなくても平気か．
- 回転しているブラックホールでも同様の議論をBengtsson-Jakobsson (2015)がしているが，読んでいないので正しいか解らない．
- 有限体積の空間で重力崩壊が起こったときも，ブラックホールの内部体積は発散するのだろうか．
- 体積を解析的に計算できる簡単な例はないか．
【誤植】
- FIG.1，Penrose diagramの$v=0$という線が間違っている．
- p1，Minkowsky $\Longrightarrow$ Minkowski．
- p2，$A=\pi R^2 \Longrightarrow A=4\pi R^2$．
- 式(5)，多分$ \gamma \mapsto (v(\lambda),r(\lambda)) \Longrightarrow \gamma: \lambda \mapsto (v(\lambda),r(\lambda))$
- 式(12)，$ \sqrt{ \tilde{g}_{\alpha\beta} dx^\alpha dx^\beta} \Longrightarrow \sqrt{ \tilde{g}_{\alpha\beta} \dot{x}^\alpha \dot{x}^\beta}$
- 式(19)，$\displaystyle \int_0^{2M} \Longrightarrow \int_0^{2m}$（論文を通して$M \Longrightarrow m$）．
- 式(27)，$V \simeq -4\pi r_V^4 f(r_V) v \Longrightarrow V \simeq 4\pi \sqrt{ -r_V^4 f(r_V) } v$．
【英語】
- compelling：説得力のある．
- simultaneity：同時性．
- so to say：いわば．
- auxiliary：（オーグジリアリ）補助の，補助的な，予備の，付属の．
- significative：意味のある（～significant）．
- legitimate：合法性，正当性．
- built up：高まる，増大する，～を高める，～を増大させる．
- cast some doubts on：～に疑いの目を向ける．
- most likely：【副】多分，十中八九，たいがい．（形容詞的用法もある）．
- pertinent：関連のある（～relevant），適当な，的を射た．
- out of question：問題ない．
- degrade：（地位・価値が）下がる，低下する，～を下げる．
- as such：そういうわけで．
- depiction：描写，表現，叙述．
【蛇足】
- C Rovelliはイタリア人で量子重力理論研究者である．いろいろな所属をもっているようだが，現在はフランスのマルセイユを拠点にしているようだ．
- M Christodoulouは多分Rovelliの学生だと思われる．Christodoulouと言えば，Minkowski時空の安定性を数学的に証明したDemetrios Christodoulouを思い浮かべてしまうが，彼ではない．
